Phương trình laplace

Pmùi hương pháp bình thường áp dụng của phxay biến đổi Laplace để giải phương thơm trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, cần sử dụng công thức Duhamel,... là phần nhiều câu chữ bao gồm trong tư liệu "Ứng dụng của phnghiền biến đổi Laplace để giải phương thơm trình vi phân đường tính thông số hằng". Mời chúng ta thuộc tham khảo để có thêm tài liệu Giao hàng yêu cầu học hành cùng nghiên cứu.




Bạn đang xem: Phương trình laplace

*



Xem thêm: Cách Tải Free Fire Thử Nghiệm ), Cách Tải Free Fire Thử Nghiệm (Test) Apk Mới Nhất

Nội dung Text: Ứng dụng của phnghiền chuyển đổi Laplace nhằm giải phương thơm trình vi phân tuyến đường tính thông số hằng


Xem thêm: Tải Game Bóng Tối Trỗi Dậy 1, Download Game Bóng Tối Trỗi Dậy

t t f ( t ) = ∫ 2 sin( t + τ)dτ + ∫ sin( t − 3τ)dτ 0 0 t t cos( t − 3τ) 1 1 = − cos( t + τ) 0 + = cost − cos2 t + cos2 t − cost 3 0 3 3 2 2 = cost − cos2 t 3 3 §19. ỨNG DỤNG CỦA PHÉPhường. BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG1. Pmùi hương pháp chung: Giả sử ta bắt buộc tìm nghiệm của pmùi hương trình vi phân tuyếntính hệ số hằng: dn x d n −1x a o n + a 1 n −1 + L + a n x = f ( t ) (1) dt dttán đồng những điều kiện ban đầu: x(0) = xo, x’(0) = x1 ,.., x(n-1)(0) = xn-1 (2)cùng với mang thiết ao ≠ 0, hàm f(t), nghiệm x(t) thuộc các đạo hàm cho tới cấp n của nó những làcác hàm cội.Để tìm kiếm nghiệm của bài tân oán bên trên ta làm cho nhỏng sau: bTrước không còn ta lập phương thơm trình hình ảnh của (1) bằng phương pháp Điện thoại tư vấn X(p) là hình họa của x(t),F(p) là ảnh của f(t). Theo công thức đạo hàm cội ta có: x’(t) = pX(p) - xo x”(t) = p2X(p) - pxo - x1 … x(n)(t) = pnX(p) - pn-1xo - ⋅⋅⋅ - xn-1Lấy hình ảnh nhị vế của (1) ta bao gồm phương trình đối với ảnh X(p): (aopn + a1pn-1 + ⋅⋅⋅ + an)X(p) = F(p) + xo(aopn-1 + a1pn-2 + ⋅⋅⋅ + an-1) + x1(aopn-1 + a1pn-2 + ⋅⋅⋅ + an-1) +⋅⋅⋅ + xn-1aohay: A(p).X(p) = F(p) + B(p) (3)Trong số đó A(p) cùng B(p) là các đa thức đang biết. Giải (3) ta có: F(p) + B(p) X ( p) = (4) A ( p) b Sau kia tìm kiếm cội của X(p) ta được nghiệm của pmùi hương trìnhlấy ví dụ 1: Tìm nghiệm của pmùi hương trình x” - 2x’ + 2x = 2etcostvừa ý điều kiện đầu x(0) = x’(0) = 0Đặt x(t) ↔ X(p) thì x’(t) ↔ pX(p) và x”(t) ↔ p2X(p). 2(p − 1) 2(p − 1)Mặt khác 2e t cos t ↔ = 2 . Tgiỏi vào pmùi hương trình ta có: (p − 1) + 1 p − 2p + 2 2 119 2(p − 1) p 2 X − 2pX + 2X = p − 2p + 2 2tuyệt 2(p − 1) ( p 2 − 2 p + 2) X = p − 2p + 2 2Giải ra ta được: 2(p − 1) X= 2 (p − 2p + 2) 2Dùng phép biến hóa ngược ta có: x(t) = tetsintlấy ví dụ 2: Tìm nghiệm của pmùi hương trình x” - x = 4sint + 5cos3t bằng lòng những điều kiệnthuở đầu x(0) = -1, x’(0) = -2 5p Đặt x(t) ↔ X(p) thì x”(t) ↔ p2X + p + 2. Mặt không giống 5cos2 t ↔ 2 và p +4 44 sint ↔ 2 . Tgiỏi vào pmùi hương trình bên trên ta được: p +1 4 5p p2X + p + 2 − X = 2 + 2 p +1 p + 4nên: 4 5p p+2 X= 2 + 2 − 2 (p + 1)(p − 1) (p + 4)(p − 1) p − 1 2 2 2 2 p p p+2 = 2 − 2 + 2 − 2 − 2 p −1 p +1 p −1 p + 4 p −1 2 p =− 2 − 2 p +1 p + 4Dùng phxay thay đổi ngược ta được: x(t) = -2sint - cos2tlấy ví dụ như 3: Tìm nghiệm của pmùi hương trình x” + 4x’ + 4x = t3e-2t ưng ý các điều kiệnthuở đầu x(0) = 1, x’(0) = 2. Đặt x(t) ↔ X(p) thì x’(t) ↔ pX - 1, x”(t) ↔ p2X - p - 2. Mặt khác 3! 6t 3e −2 t ↔ = . Tgiỏi vào phương thơm trình bên trên ta được: (p + 2) 4 (p + 2) 4 6 p 2 X − p − 2 + 4pX − 4 + 4X = (p + 2) 4Nhỏng vậy: 6 p+6 6 4 1 X= + = + + (p + 2) 6 (p + 2) 2 (p + 2) 6 (p + 2) 2 p + 2 120 −2 t −2 t1 5 −2 t −2 t ⎛ t5 ⎞Vậy x(t) = x ( t ) = e + 4te + t e = e ⎜⎜1 + 4t + ⎟⎟ trăng tròn ⎝ đôi mươi ⎠ (4)lấy một ví dụ 4: Tìm nghiệm của pmùi hương trình x + 2x” + x = sint thỏa mãn những điều kiệnthuở đầu x(0) = x’(0) = x”(0) = x(3)(0) = 0. 1 Đặt x(t) ↔ X(p) thì: x”(t) ↔ p2X, x(4)(t) ↔ p4X. Mặt không giống sin t ↔ 2 . p +1Ttốt vào phương thơm trình trên ta được: 1 (p 4 + 2p 2 + 1)X = 2 p +1 1 1 1 X= 2 = 2 = (p + 1)(p + 2p + 1) (p + 1) 4 2 3 (p − j) (p + j) 3 3Hàm X(p)ept gồm hai điểm rất cấp 3 là j và -j. Ta tính thặng dư trên các đỉnh điểm đó: ″ pt 1 ⎡ e pt ⎤ 1 ⎡ 12e pt 6 te pt t 2 e pt ⎤ Res = llặng ⎢ = lyên ổn ⎢ − + 2 p→ j ⎣ (p + j) 3 ⎥⎦ 2 p→ j ⎣ (p + j) 5 (p + j) 4 (p + j) 3 ⎥⎦ = e jt 16 <− 3t + j( t 2 − 3) > ″ pt 1 ⎡ e pt ⎤ 1 ⎡ 12e pt 6 te pt t 2 e pt ⎤ Res = lyên ⎢ = lyên ổn ⎢ − + 2 p→− j⎣ (p − j) 3 ⎥⎦ 2 p→− j⎣ (p − j) 5 (p − j) 4 (p − j) 3 ⎥⎦ e − jt = 16 < − 3t − j( t 2 − 3) >Theo công thức search nơi bắt đầu của phân thức hữu tỉ ta có: x(t) = Res + Res e − jt = e jt 16 < − 3t + j( t − 3) + 2 >16 < − 3t − j( t 2 − 3) > = e jt 16 < − 3t + j( t 2 − 3) + >e jt 16 < > − 3t + j( t 2 − 3) ⎧ e jt ⎫ < > = 2 Re⎨ − 3t + j( t 2 − 3) ⎬ = − t cos t + 16 3 8 3 − t2 8 sin t ⎩ ⎭Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình x” + x = et vừa ý những ĐK ban đầux(1) = x’(1) = 1. Các ĐK lúc đầu ở chỗ này chưa phải mang đến trên t = 0 mà lại trên t = 1. Vì vậy tađề nghị đổi khác nhằm quy về ngôi trường hợp bên trên. Ta đặt t = τ + 1, x(t) = x(τ + 1) = y(τ), Vậyx’(t) = y’(τ), x”(t) = y”(τ). Bài toán thù được mang lại search nghiệm của phương thơm trình: y”(τ) + y(τ) = eτ+1thoả mãn y(0) = 1 cùng y’(0) = 0 121 e điện thoại tư vấn Y(p) là hình ảnh của y(τ). Vậy y”(τ) ↔ p2Y(p) - p. Mặt không giống e τ+1 = e.e τ ↔ p −1Vậy phương thơm trình ảnh là: e p2Y − p + Y = p −1Giải phương trình này ta được: e p e e(p + 1) p Y= + 2 = − + 2 (p − 1)(p + 1) p + 1 2(p − 1) 2(p + 1) p + 1 2 2 e ⎛ e⎞ p e = + ⎜1 − ⎟ 2 − 2(p − 1) ⎝ 2 ⎠ p + 1 2(p 2 + 1)Từ kia ta được: e ⎛ e⎞ e y(τ) = e τ + ⎜1 − ⎟ cos τ − sin τ 2 ⎝ 2⎠ 2Trsinh sống về biến chuyển t ta có: et ⎛ e ⎞ e x ( y) = + ⎜1 − ⎟ cos( t − 1) − sin( t − 1) 2 ⎝ 2⎠ 2ví dụ như 6: Tìm nghiệm của phương trình: ⎧1 0 2chấp thuận điều kiện lúc đầu x(0) = 0. Đặt x(t) ↔ X(p) yêu cầu x’(t) ↔ pX(p). Vế yêu cầu của pmùi hương trình có thể viết đượclà f(t) = η(t) - η(t - 2). Vậy: f ( t ) ↔ (1 − e −2 p ) 1 pvà pmùi hương trình ảnh gồm dạng: pX + X = (1 − e −2 p ) 1 pGiải ra ta được: 1 − e −2 p 1 e −2 p X= = − p(p + 1) p(p + 1) p(p + 1) 1 1 1Do = − ↔ 1 − e −t p(p + 1) p p + 1buộc phải theo tính chất trễ ta có: e −2 p 1 p(p + 1) < > ↔ η( t − 2) 1 − e −( t −2 ) ⎧1 − e − t 0lấy ví dụ 7: Tìm nghiệm của phương thơm trình: ⎧sin t 0 πưng ý những ĐK lúc đầu x(0) = x’(0) = 0.Đặt x(t) ↔ X(p), buộc phải x”(t) ↔ p2X(p)Trước phía trên ta đang tìm kiếm được ảnh của hàm vào vế nên là: 1 (1 + e−pπ ) p +1 2Vậy phương thơm trình hình ảnh tương xứng là: p 2 X + ω2 X = 2 1 (1 + e−pπ ) p +1 1 + e − pπhay: X = 2 (p + 1)(p 2 + ω2 )Ta xét hai trường hơp: ∗ trường hợp ω2 ≠ 1 thì: 1 sin ωt − ω sin t ↔ (p + 1)(p + ω ) 2 2 2 ω(1 − ω2 )Theo tính chất trễ e − pπ sin ω( t − π) − ω sin( t − π) ↔ η( t − π) (p + 1)(p + ω ) 2 2 2 ω(1 − ω2 )Vây: sin ωt − ω sin t sin ω( t − π) − ω sin( t − π) x(t) = + η( t − π) ω(1 − ω ) 2 ω(1 − ω2 )hay: ⎧ sin ωt − ω sin t ⎪ ω(1 − ω2 ) 0 e − pπ η( t − π)hay: ↔ <( t − π) cos t − sin t > (p 2 + 1) 2 2Vậy: 1 1 x(t) = (sin t − t cos t ) + η( t − π)<( t − π) cos t − sin t > 2 2hay: ⎧1 ⎪⎪ 2 (sin t − t cos t ) 0 π ⎪⎩ 2lấy một ví dụ 8: Giải hệ pmùi hương trình: ⎧x ′ + x − y = e t ⎨ ⎩ y′ + 3x − y = 3e tnhất trí ĐK đầu x(0) = 1, y(0) = 1Đặt x(t) ↔ X(p), y(t) ↔ Y(p) đề xuất x’(t) = pX - 1, y’(t) = pY - 1. Txuất xắc vào ta bao gồm hệpmùi hương trình ảnh: ⎧ 1 ⎪⎪ pX − 1 + X − Y = p −1 ⎨ ⎪pY − 1 + 3X − 2Y = 2 ⎪⎩ p −1hay: ⎧ 1 ⎪⎪(p + 1)X − Y = p − 1 + 1 ⎨ ⎪3X + (p − 2)Y = 2 + 1 ⎪⎩ p −1Giải hệ này ta được: 1 1 X= ; Y= p −1 p −1Vậy: x(t) = e với y(t) = et tví dụ như 9: Giải hệ phương thơm trình: ⎧x ′′ − x + y + z = 0 ⎪ ⎨x + y′′ − y + z = 0 ⎪x + y + z′′ − z = 0 ⎩Thoả mãn những điều kiện đầu x(0) = 1, y(0) = z(0) = x’(0) = y’(0) = z’(0) = 0.Đặt x(t) ↔ X(p) ⇒ x” ↔ p2X - p y(t) ↔ Y(p) ⇒ y” ↔ p2Y z(t) ↔ Z(p) ⇒ z” ↔ p2Z 124Do kia hệ phương thơm trình so với các hình họa là: ⎧(p 2 − 1)X + Y + Z = p ⎪ ⎨X + (p − 1)Y + Z = 0 2 ⎪X + Y + (p 2 − 1) Z = 0 ⎩Giải hệ này ta có: p3 X= (p 2 + 1)(p 2 − 2) p Y=Z=− 2 (p + 1)(p 2 − 2)Nlỗi vậy: 2 ( ) x ( t ) = ch 2t + cos t 3 1 3 1 ( ) 1 y( t ) = z( t ) = − ch 2t + cos t 3 32. Dùng bí quyết Duhamel: Nếu biết nghiệm x1(t) của pmùi hương trình: a o x1′′ + a 1x1′ + a 2 x1 = 1 (5)thoả nguyện những ĐK lúc đầu thuần độc nhất x(0) = x’(0) = 0 thì bí quyết cơ mà ta thiếtlập sau đây dựa vào bí quyết Duhamel đã mang lại ta nghiệm x(t) của pmùi hương trình: aox” + a1x’ + a2x = f(t) (6)thỏa mãn các điều kiện thuở đầu thuần độc nhất vô nhị x(0) = x’(0) = 0.Ta có công thức: τ τ x ( t ) = x1′ * f = ∫ f (τ)x1′ ( t − τ)dτ = ∫ f ( t − τ)x1′ (τ)dτ 0 0Chứng minh: Đặt x1(t) ↔ X1(p), x(t) ↔ X(p), f(t) ↔ F(p). Hàm X1(p) thoả mãnpmùi hương trình ảnh của (5) là: 1 ( a o p 2 + a 1p + a 2 ) X1 ( p ) = (7) pHàm X(p) hài lòng phương trình ảnh của (6) là: (a o p 2 + a 1p + a 2 )X (p) = F(p) (8)Từ (7) cùng (8) suy ra: X ( p) pX1 (p) = tuyệt X(p) = pX1 (p).F(p) F(p)Theo cách làm tích phân Duhamel ta có: X(p) ↔ x1(t).f(0) + x1′ * fVì x1(0) = 0 yêu cầu X(p) ↔ x1′ * fnghĩa là: 125 τ t x ( t ) = x1′ * f = ∫ f (τ)x1′ ( t − τ)dτ = ∫ f ( t − τ)x1′ (τ)dτ (9) 0 0Ta cũng có thể dùng bí quyết Duhamel thiết bị 2: τ x ( t ) = x1 ( t )f (0) = ∫ x1 (τ)f ( t − τ)dτ (10) 0ví dụ như 1: Tìm nghiệm của phương thơm trình: 2 x” + x’ = e − tmãn nguyện điều kiện đầu x(0) = x’(0) = 0. Ta thấy nghiệm của phương thơm trình x” + x’ = 1 với ĐK đầu x(0) = x’(0) = 0là x1(t) = 1 - cost. Vậy theo (9) thì nghiệm của phương thơm trình ban đầu là: t 2 x ( t ) = ∫ e −( t −τ ) sin τdτ 0lấy ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình x” + x = 5t2 với ĐK đầu là x(0) = x’(0)=0Trong ví dụ bên trên ta có x1(t) = 1 - cost. Vậy: t x ( t ) = ∫ 5t 2 sin( t − τ)dτ = 5( t 2 − 2 + 2 cos t ) 0 §đôi mươi. BẢNG ĐỐI CHIẾU ẢNH - GỐC Tt f(t) F(p) Tt f(t) F(p) 1 (p − a ) 2 − m 2 1 1 21 teatcosmt p <(p − a ) 2 + m 2 >2 1 2m( p − a ) 2 t 22 teatshmt p2 <(p − a ) 2 − m 2 >2 n! (p − a ) 2 + m 2 3 tn 23 teatchmt p n +1 <(p − a ) 2 − m 2 >2 1 mét vuông 4 eat 24 1-cosmt p−a p( p 2 + m 2 ) a 1 5 eat - 1 25 f(t)sinmt < F( p − jm) − F( p + jm)> p( p − a ) 2 1 1 6 teat 26 f(t)cosmt < F( p − jm) + F(p + jm)> (p − a ) 2 2 n! 1 7 tneat 27 f(t)shmt < F( p − m ) − F( p + m)> (p − a ) n +1 2 m 1 8 sinmt 28 f(t)chmt < F( p − m ) + F( p + m)> p + mét vuông 2 2 126 p e at − e bt 19 cosmt 29 p + m2 2 a−b (p − a )(p − b) t t m e − −e a − b 110 shmt 30 p − m2 2 a−b (ap + 1)(bp + 1) p p11 chmt 31 (1+at)eat p − m2 2 (p − a ) 2 m e a − at − 1 112 eatsinmt 32 (p − a ) 2 + m 2 a2 (p − a )p 2 p−a p 2 + 2m 213 eatcosmt 33 cos mt 2 (p − a ) 2 + m 2 p( p 2 + 4 m 2 ) m 2m 214 eatshmt 34 sin2mt (p − a ) 2 − m 2 p( p 2 + 4 m 2 ) p−a p 2 − 2m 215 eatchmt 35 ch2mt (p − a ) 2 − m 2 p( p 2 − 4 m 2 ) 2pm 2m 216 tsinmt 36 sh2t (p 2 + m 2 ) 2 p( p 2 − 4 m 2 ) p2 − m2 e at − e bt p−b17 tcosmt 37 ln (p 2 + m 2 ) 2 t p−a 2pm e − at 118 tshmt 38 (p − m 2 ) 2 2 πt p+a p2 + mét vuông 2m( p − a )19 tchmt đôi mươi teatsinmt (p 2 − m 2 ) 2 <(p − a ) 2 + m 2 >2 127

Chuyên mục: Tin Tức